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最速降线(图)

上一篇 / 已经是最后一篇  发布日期 2007-03-25 00:01:01  更新日期 2015-03-02 13:32:14

       在许多科技馆的展厅里,摆着一个有点像滑梯的展品:两个并排的滑板,它们的起点高度一样,终点高度也一样,但一个是倾斜的直线,另一个是向下弯曲的弧线。当两个球同时从起点滑下时,一般人总认为倾斜直线滑板上的球会先达到终点。可是结果却出人意料,弧线滑板上滚动的球却先到了终点。这似乎与一般人的直觉有很大矛盾。两点间直线的距离最近,弯曲的路线一定比直线更长一些。从我们的主观想象来看,通过距离短的总应该比距离长的先到。然而事实却与我们的想象相反。
       那么是不是所有弯曲轨道上滚动的球都能比斜直轨道滚动的球先到呢?那也不是,轨道的弯曲程度要恰到好处。这是数学物理中一个古老而著名的问题——最速降线问题。它是瑞士数学家约翰·伯努利在1696年6月号的《教师学报》上向当时的科学家们提出来的。这个问题是求从给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线,使得一个质点沿这曲线从给定点下滚所用时间最短,当然摩擦和空气阻力都忽略。用现代的方式来表达,这个问题就是要使表示下降时间的积分取极小值。
       当时许多著名的科学家,如牛顿、莱布尼兹、约翰·伯努利和他的哥哥詹姆斯·伯努利等,都展开了紧张的研究工作。
       伽利略在1630年和1638年曾系统地研究过这个问题,他给出的答案是圆弧。但这是一个错误的结果。
       牛顿、莱布尼兹和伯努利兄弟都得到了正确的解答。所有这些解法均发表在1697年5月号的《教师学报》上。结论是:沿旋轮线下落的物体最省时。
       这些解法中约翰·伯努利本人的答案最有趣。他利用力学与光学在某些场合下的相似之处,进行了巧妙的构思,他首先抓住了物体由高处向低处落下时速度不断加快这个事实,把它与光线从一个媒质进入另一个媒质速度也发生变化相类比。伯努利认为:既然光由一种媒质传到另一种媒质,其速度的变化是两种质的折射率不同造成的,那么对质点下降来说,其速度的改变就是由于空间的不均匀性造成的。他设想,质点最速下降的路径是和光线在具有适当选择过的变折射率的介质中所取的路径相同。在不同介质交界面处光线是按折射定律行进的。把介质分成有限个数的层,从一层到另一层折射率有明显的变化,然后让层数趋于无穷。这样伯努利就把力学中的最速降线问题化为光在不同媒质中传播问题,沿着这一思路,他应用数学工具,一举解决了这个难题。
       质点沿旋轮线下落最省时,因此它也被称为最速降线。车轮在平地上滚动,轮沿上不动点在空间描画的轨迹叫做旋轮线,恰巧物体沿倒过来斜放着的此线降落最省时。旋轮线还有一个名称叫做摆线,由于惠更斯等人对钟摆的研究,摆线(旋轮线)在这以前已经是众所周知的了。当伯努利兄弟发现摆线就是最速降线问题的解时,感到万分惊奇。
       求最速降线的问题其意义大大超过了问题的本身,因为很多物理过程,均可用求某些物理量的极值来解决。伯努利兄弟和其他科学家们从最速降线这个问题出发,创立了数学的一个分支——变分法。
       这个问题我们仔细想一想,也许会有一些领悟。这个问题是讨论哪条下落的路线花的时间最少,这不仅与路线的长短有关,而且跟下滑的速度有关。沿斜线下滑,做匀加速运动,速度从零开始,缓慢而均匀地增大;沿摆线下滑,速度也是从零开始,但是开始滑行就是一段陡坡,速度迅速增大,滑行速度显然比在斜线上快,虽然在摆线是滑行多走一些路程,但究竟在哪条线上用得时间短些,就很难说了。
       既然最速降线就是摆线,那么我们先了解一下摆线的性质。当直径为r的动圆C沿着定直线L滚动时,动圆圆周上一点M所画出的曲线叫摆线。摆线在它与直线L的两个相邻交点O、q之间的部分叫一个拱。摆线最高点到定直线的距离2r叫拱高。直线Oq的长度为2πr。摆线一拱的弧长是拱高的4倍为8r(见图1)经过推导得到摆线的方程为:
       x=r(θ-sinθ)
       y=r(1-cosθ)
       这个方程在我们研究最速降线时是很有用处的。

图1

       通过计算我们可以得到确定的答案。
       首先我们假设沿斜线和摆线下滑的两个球质量的一样的,两条轨道是绝对光滑的,小球开始下滑时初速度为零,小球下滑到终点时,离地面的高度下降了y,那么它的重力势能就减少了mgy(见图2)。本证明是在选择滑行轨道是半拱摆线弧及其对应斜线的情况下进行的。
       从图2中我们可以看到

图2

       m——小球的质量
       g——重力加速度
       设小球的速度为v,小球的动能为(1/2)mv2
       根据能量守恒定律动能的由减少的势能转化而来的,因此得到:
       (1/2)mv2=mgy
       ∴v=√(2gy)
       速度v等于路程s对时间t的导数ds/dt,代入上式
       ds/dt=√(2gy)
       ∴dt=ds/√(2gy)
       设滑行曲线的参数方程是x=φ(θ), y=□(θ),用撇号表示对参数θ的导数,利用微分三角形得到
       ds=(√x′2+y′2)dθ
       ∴dt=[(√x′2+y′2)/√(2gy)]dθ
       对dt积分,就得到从θ=θ1的点下滑到θ=θ2的点所需的时间是
       T=∫[(√x′2+y′2)/√(2gy)]dθ
       用直角坐标表示则是
       dt=[√1+y′2/√(2gy)]dx
       T=∫[√1十y′2/√(2gy)]dx
       这个公式对在O(0、0)、A(πr、2r)之间的线同样适用。我们先考虑斜线。O(0、0)和A(πr、2r)间线段0A的方程为:
       Y=(2/π)x(0≤x≤πr)
       在斜线上滑完全程的时间是
       T1=∫[√1+y′2/√(2gy)]dx=∫[√1+(2/π)2]/√(4g/π)dx
       =π/g(1+4/π2)∫dx/2√x=π/g(1+4/π2)√x|
       =√r(π2+4)/g
       在最速降线上滑行,它滑过的是半拱摆线弧,将摆线的参数方程
       x=r(θ-sinθ)
       y=r(1-cosθ)(0≤θ≤π)
       代入,在最速降线上滑完全程的时间是
       T2=∫(√1+y′2/√2gy)dθ=∫[√2r2(1-cosθ)/√2gr(1-cosθ)]dθ
       =√r/g∫dθ=√r/gθ|
       =(√r/g)π
       由于√r(π2+4)/g>(√rπ2/g)=(√r/g)π
       所以T1>T2在斜线上滑完全程的时间比在最速降线上滑完全程的时间长。本证明是选择滑行轨道是半拱摆线弧和它对应的斜线的条件下进行的。
       从图2中我们可以看到,在三角形OBA中,
       OB=rπ,
       BA=2r,
       根据勾股定理
       OA2=OB2+BA2
       OA2=(rπ)2+(2r)2
       OA=√(rπ)2+(2r)2=r√π2+4,令π=3.14
       OA=3.7r
       弧OMA=4r
       OMA-OA=0.3r,
       摆线弧和它对应的斜线长度之差为0.3r。
       设r=0.5米,OA=1.85米,OMA=2米,OMA和OA相差15厘米。这是一个不小的距离。如果把r=0.5米,g=9.8米/秒2代入T1和T2中,即可得到:
       T1=√r(π2+4)/g=0.84秒
       T2=(√r/g)π=0.71秒
       由此可以看出,在斜线上滑完全程的时间比在最速降线上滑完全程的时间多用了0.13秒,我们在设计最速降线展品时要选择适当的r,使展品不至于太大,又有明显的效果。
       在我国古代建筑中有一种“大屋顶”的房子。北京故宫的房子就是这个样子。从侧面看,屋顶不是三角形,而是两条曲线,屋檐上翘,显得格外雄壮。大屋顶上的曲线就是最速降线。把屋顶修成最速降线,可以让降落在屋顶上的雨水以最快的速度流走,这对保护建筑物很有好处。
       科技馆用实物再现了科学史上这一重大的发现。从中我们可以知道:很多数学、物理的定理、定律都是彼此相互关联着的,认识事物要透过表面现象,去发现事物之间的内在联系。这才能举一反三,真正认识到事物的本质。


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dulake的博客 引用 删除 dulake   /   2015-03-02 13:32:14
有原理,有解释,有应用。王老师威武
dulake的博客 引用 删除 dulake   /   2015-03-02 13:31:24
5
yurq的博客 引用 删除 yurq   /   2011-03-10 19:28:05
看懂了。
 

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